ベイズの定理【統計入門】

ベイズの定理とは、条件付き確率の逆で、結果である事象Bが起こった時に、原因である事象Aが起こっている確率を求める方法です。この記事では、ベイズの定理の概念と、条件付き確率との比較を、様々な例や図使い、分かりやすく解説しています。
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条件付き確率の復習ベイズの定理
事前確率と事後確率ベイズの定理の例
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復習:条件付き確率

条件付き確率は、ある\(事象A\)が起こったという条件のもとで、\(事象B\)が起こる確率です。 先に\(A\)が起こり、その後に\(B\)が起こると仮定すると、\(A\)を原因、\(B\)を結果と表現することもできます。

条件付き確率の公式 $$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$

ある原因となる\(事象A\)が起こったときに、結果として\(事象B\)が起こる確率が、条件付き確率です。

ポイント
条件付き確率:原因→結果, 前→後
条件付き確率をもっと詳しく

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ベイズの定理

ベイズの定理:条件付き確率の逆。結果である\(事象B\)が起こったときに、原因である\(事象A\)が実際に起こっている確率を求める。 $$P(A|B) = \frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)} $$ \(P(A|B)\):\(B\)という結果が起こったとき、\(A\)が起こっている確率 \(P(B|A)\):\(A\)が起こったとき、\(B\)が起こる確率 \(P(A)\):\(A\)が起こる確率 \(P(B)\):\(B\)が起こる確率
証明

条件付き確率の式を2つ用意します。

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\cdots(1) $$ $$P(A \mid B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)}\cdots(2) $$

条件付き確率は、\(A\)と\(B\)を入れ替えても成り立ちます。これは、\(A\)と\(B\)はあくまで、条件であって、どちらが先に起こるかは、問題ではないからです。 \(A\)を原因、\(B\)を結果とした場合、\(P(B \mid A)\)は\(B\)という結果が出るという条件のもとで、\(A\)が起きている確率です。

$$P(A \cap B)=P(B \mid A)P(A)$$ $$P(A|B) = \frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)} $$

(1)を変形して、(2)に代入します。これでベイズの定理の完成。

条件つき確率との違い

\(P(A|B)\)を求めるだけならば、条件付き確率の公式のみで、事足りるように思えます。 ベイズの定理は、条件付き確率の逆の式に\(P(A \cap B)=P(B \mid A)P(A)\)を代入することによって求められますが、代入をする意義というのは、\(P(A)\)と\(P(A|B) \)を比較できる点にあります。

\(P(A|B)\)は、\(B\)という結果が出ているときに、\(A\)という原因が起こっている確率。\(P(A)\) は単純にAが起こる確率。\(P(A)\)と\(P(A|B)\)を比較するということは、\(B\)という結果が出たときに、\(A\)が起こるという確率が、どれだけ変化するか、調べることになります。これによって、検査や機械の精度がどれだけ高いのか、調べることができます。

\(\frac{P(B|A)}{P(B)}\)が大きいほど、\(B\)が起こったという結果がより、\(A\)が起こったという確率を上げることになります。

ポイント
ベイズの定理:結果→条件, 後→前

事前確率と事後確率

(P(A))は、何の情報もなしで、Aが起こるという確率なので、事前確率と呼ばれます。 (P(A|B))は、Bという結果を得た後で、Aが起こったという確率なので、事後確率と呼ばれます。

ベイズの定理の具体例

ここからは、具体例によってベイズの定理をもっと実践的に理解していきます。

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