ベイズの定理【統計入門】

ベイズの定理とは、条件付き確率の逆で、結果である事象Bが起こった時に、原因である事象Aが起こっている確率を求める方法です。この記事では、ベイズの定理の概念と、条件付き確率との比較を、様々な例や図使い、分かりやすく解説しています。

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条件付き確率の復習	ベイズの定理
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復習：条件付き確率

条件付き確率は、ある$事象A$が起こったという条件のもとで、$事象B$が起こる確率です。先に$A$が起こり、その後に$B$が起こると仮定すると、$A$を原因、$B$を結果と表現することもできます。

条件付き確率の公式 $$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$

例1 条件付き確率：あるウイルスにかかった人が、陽性と判定される確率原因：ウイルスにかかった結果：陽性と判定された

例2 条件付き確率：ある工場で生産された部品が不良品である確率原因：ある工場で部品が生産された結果：部品が不良品である

ある原因となる$事象A$が起こったときに、結果として$事象B$が起こる確率が、条件付き確率です。

ポイント

条件付き確率：原因→結果,　前→後

条件付き確率をもっと詳しく

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ベイズの定理

ベイズの定理：条件付き確率の逆。結果である$事象B$が起こったときに、原因である$事象A$が実際に起こっている確率を求める。 $$P(A|B) = \frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)} $$ $P(A|B)$：$B$という結果が起こったとき、$A$が起こっている確率 $P(B|A)$：$A$が起こったとき、$B$が起こる確率 $P(A)$：$A$が起こる確率 $P(B)$：$B$が起こる確率

証明

条件付き確率の式を2つ用意します。

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\cdots(1) $$ $$P(A \mid B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)}\cdots(2) $$

条件付き確率は、$A$と$B$を入れ替えても成り立ちます。これは、$A$と$B$はあくまで、条件であって、どちらが先に起こるかは、問題ではないからです。 $A$を原因、$B$を結果とした場合、$P(B \mid A)$は$B$という結果が出るという条件のもとで、$A$が起きている確率です。

$$P(A \cap B)=P(B \mid A)P(A)$$ $$P(A|B) = \frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)} $$

(1)を変形して、(2)に代入します。これでベイズの定理の完成。

条件つき確率との違い

$P(A|B)$を求めるだけならば、条件付き確率の公式のみで、事足りるように思えます。ベイズの定理は、条件付き確率の逆の式に$P(A \cap B)=P(B \mid A)P(A)$を代入することによって求められますが、代入をする意義というのは、$P(A)$と$P(A|B) $を比較できる点にあります。

$P(A|B)$は、$B$という結果が出ているときに、$A$という原因が起こっている確率。$P(A)$ は単純にAが起こる確率。$P(A)$と$P(A|B)$を比較するということは、$B$という結果が出たときに、$A$が起こるという確率が、どれだけ変化するか、調べることになります。これによって、検査や機械の精度がどれだけ高いのか、調べることができます。

$\frac{P(B|A)}{P(B)}$が大きいほど、$B$が起こったという結果がより、$A$が起こったという確率を上げることになります。

$\frac{P(B|A)}{P(B)}<1$：$B$という結果が、$A$が起こったという確率を下げる。

$\frac{P(B|A)}{P(B)}=1$：$A$と$B$は独立。（$A$が起こったかどうかは、$B$という結果に全く関係ない。)

$\frac{P(B|A)}{P(B)}>1$：$B$という結果が、$A$が起こったという確率を上げる。

ポイント

ベイズの定理：結果→条件, 後→前