条件付き確率と乗法定理【統計入門】

条件付き確率とは、ある事象が起こったときに他の事象が起こる確率のことです。この記事では、条件付き確率の概念や、それによって定義される確率の乗法定理を、様々な例を使い、分かりやすく解説しています。
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条件付き確率確立の乗法定理
確立同士の独立事象同士が独立な例
事象同士が独立かわからない例統計用語集
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条件付き確率

事象Aが起こったときに、事象Bが起こる確率は次のように定義されます。

(1) $$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$

P(B|A)はAが起こったという条件のもとでの、Bが起こる確率なので、Bの条件付き確率と呼ばれます。

ポイント

右が先に起こる事象(条件)、左が後に起こる事象

確率の乗法定理

確率の乗法

(2) $$P(A \cap B)={P(A)}{P(B \mid A)}$$

条件付き確率に関する式(1)を変形することによって、確率の乗法を定義できます。これによって、AとBが同時に起こる確率を求めることができます。

AとBが同時に起こる確率は、Aが起こる確率とBの条件つき確率の積に等しいです。

確率同士の独立

(3) $$P(B \mid A)=P(B)$$ $$(AとBは独立)$$

事象Aと事象Bが互いに影響を及ぼし合わないとき、事象Aと事象Bは独立である、といいます。このとき、事象Aが起ころうと起こるまいと、事象Bが起こる確率は変わらないので、上の等式(3)が成り立ちます。

確率の乗法(事象同士が独立)

$$P(A \cap B)={P(A)}{P(B)}$$ $$ (AとBは独立)$$

事象Aと事象Bが独立であるとき、AとBが同時に起こる確率は、それぞれが起こる確率の積で表されます。これは(2)に(3)を代入して求めることができます。

事象の独立性

ここからは、どのような事象同士が独立である/独立でないか、具体例を見ていきます。

事象同士が独立な例

1回目に出るサイコロの目と2回目に出るサイコロの目は独立であるので、

$$P(A \cap B)={P(A)}{P(B)}$$

このように、A,Bそれぞれの確率の積で表すことができます。

事象同士が独立かわからない例

この場合、1年以上留学することが、英検1級の合格率にどのくらい影響するか、わからないです。

  1. 留学することによって、合格率が上がる場合 $$P(A \cap B)>P(B)$$
  2. 留学することによって、(逆に)合格率が下がってしまう場合 $$P(B)>P(A \cap B)$$
  3. 留学することが、英検の合格率に何も影響しない場合 $$P(A \cap B)=P(B)$$

これら3パターンが考えられます。

複数の工場で部品を生産している場合、生産する工場によって不良品率が上がったり、下がったり、あるいは変わらないという結果が、予想されます。

  1. ある工場で生産する部品の不良品率が、平均より高い場合 $$P(A \cap B)>P(B)$$
  2. ある工場で生産する部品の不良品率が、平均より低い場合 $$P(B)>P(A \cap B)$$
  3. ある工場で生産する部品の不良品率が、平均と同じ場合 $$P(A \cap B)=P(B)$$

これら3パターンが考えられます。

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