分布関数・パーセント点【統計入門】

この記事では、確率変数の分布関数（累積分布関数）について、図と例を使い分かりやすく解説しています。また、確率密度関数との関係性についても説明しています。

この記事を読む前に

確率分布、確率密度関数についての知識が怪しい方は、次の二記事を先に読むことをおすすめします。

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分布関数とは	分布関数と確率分布関数
パーセント点	下側確率
上側確率	両側確率
例題

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分布関数とは？

分布関数：確率変数がある値以下となる確率を表した関数。

・確率変数$X$の値が、ある値$x$以下となる場合の分布関数

$$F(x) = P(X \leq x)$$

分布関数には大文字の$F$が使われることが多いです。

例　生徒の身長の分布・身長が140cm以下である確率 $$P(X \leq 140)=F(140)$$

・身長が160cm以上180cm以下である確率 $P(160 \leq X \leq 180)$ $=P(X \leq 180)-P(X \leq 160)$ $=F(180)-F(160)$

分布関数と確率密度関数

分布関数と確率密度関数には上のように、微分積分によってお互いが結びついています。

これは、分布関数がある値以下となる確率そのものを表すのに対し、確率密度関数は、関数で囲まれた部分の面積を求める（積分する）ことにより、確率を求めることができるからです。

また積分範囲に関しては、確率変数がとり得る値となります。

例　生徒の身長の分布・身長が140cm以下である確率 $P(X \leq 140)=F(140)$ $$=\int^{140}_{0}f(x)\:dx$$ ・身長が150cm以上170cm以下である確率 $P(150 \leq X \leq 170)=P(X \leq 170)-P(X \leq 150)$ $=F(170)-F(150)$ $$=\int^{170}_{150}f(x)\:dx$$

ポイント：分布関数は確率そのものを表す。