分布関数・パーセント点【統計入門】

この記事では、確率変数の分布関数(累積分布関数)について、図と例を使い分かりやすく解説しています。また、確率密度関数との関係性についても説明しています。
この記事を読む前に

確率分布、確率密度関数についての知識が怪しい方は、次の二記事を先に読むことをおすすめします。

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分布関数とは分布関数と確率分布関数
パーセント点下側確率
上側確率両側確率
例題
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分布関数とは?

分布関数:確率変数がある値以下となる確率を表した関数。

・確率変数\(X\)の値が、ある値\(x\)以下となる場合の分布関数

$$F(x) = P(X \leq x)$$

分布関数には大文字の\(F\)が使われることが多いです。

分布関数と確率密度関数

分布関数と確率密度関数には上のように、微分積分によってお互いが結びついています。

これは、分布関数がある値以下となる確率そのものを表すのに対し、確率密度関数は、関数で囲まれた部分の面積を求める(積分する)ことにより、確率を求めることができるからです。

また積分範囲に関しては、確率変数がとり得る値となります 。

ポイント:分布関数は確率そのものを表す。

分布関数とパーセント点

パーセント点:ある分布関数において確率(上側確率、下側確率、両側確率)がPとなる点。
下側確率
下側確率:確率変数Xの値が、ある値x(下側パーセント点)以下になる確率。

下側確率は、分布関数と等しいです。そのため下のような関係が成り立ちます。

(F(x)=下側確率P) (x…下側パーセント点)

上側確率
上側確率:確率変数Xの値が、ある値x(上側パーセント点)以上になる確率。

上側確率は、下側確率,分布関数の逆です。

$$1-F(x)=上側確率P$$

両側確率
両側確率:確率変数Xの絶対値が、ある値x(両側パーセント点)以上になる確率。

$$両側確率=F(x_1)+(1-F(x_2))$$

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