正規分布から派生される分布【統計入門】

この記事では、統計学では最も重要な分布の1つである正規分布から派生される分布について、分かりやすく解説しています。これらの知識は、区間推定や検定を深く理解するのに不可欠です。

正規分布→標準正規分布

確率変数\(x\)が正規分布に従うとき、

\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)

\(Z\)が従う分布を標準正規分布という。

ポイント

標準正規分布:(\mu = 0, \sigma = 1) の正規分布

説明

標準正規分布→カイ2乗分布

確率変数\(Z_1…Z_k\)(\(Z_1…Z_k\)は独立)が標準正規分布に従うとき、

\( \chi^2=z_1^2+…+z_k^2\)

カイ2乗が従う分布を自由度kのカイ2乗分布という。

標準正規分布・カイ2乗分布→t分布

  • 確率変数\(Z\)が標準正規分布
  • 確率変数\(Y\)が自由度\(k\)の\(\chi^2\)分布
(\(z\)と\(y\)は独立)に従うとき $$t=\frac{Z}{\frac{Y}{k}}$$

\(t\)が従う分布を自由度\(k\)の\(t\)分布という。

カイ2乗分布→F分布

  • 確率変数\(U\)が自由\(k_1\)の\(\chi^2\)分布
  • 確率変数\(V\)が自由\(k_2\)の\(\chi^2\)分布
(\(U\)と\(V\)は独立)に従うとき、 $$F=\frac{\frac{U}{k_1}}{\frac{V}{k_2}}$$

\(F\)が従う分布を自由度\((k_1,k_2)\)の\(F\)分布という。