ポアソン分布の導出【統計入門】

この記事では、ポアソン分布がどのような分布なのか、確率密度関数はどのように求められるのか、分かりやすく解説していきます。
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二項分布

ポアソン分布のもととなる分布が、こちらの二項分布です。まずはこちらを理解しましょう。

二項分布:n回の試行中、ある事象がちょうどx回起こる確率が従う分布。 確率密度関数: $$f(x) ={}_nC_xp^x(1-p)^{n-x}$$

二項分布の例

ポアソン分布

ポアソン分布:めったに起こらない事象(めっちゃ試行して、平均で\(\lambda \)回起こる事象)が\(x\)回起こる確率が従う分布。 確率密度関数: $$f(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$$

交通事故や雷に打たれるなど、めったに起こらない事象が起こる回数に関する確率分布が、このポアソン分布です。

ポアソン分布=二項分布の近似

二項分布は、1.試行回数が多く、2.起こる確率が少ないときにポアソン分布によって近似されます。

例えば、1万回の試行で1回しか表が出ないコイン(おそらく裏めちゃくちゃ重い)があったとします。このコインで表が\(x\)回でる確率はポアソン分布に従います。

ポアソン分布の導出

二項分布の確率密度関数を \((n \rightarrow \infty\, p \rightarrow 0 )\)に飛ばしたものが、ポアソン分布の確率密度関数となります。

これは、

と訳すことで納得できるかと思います。

また、起こる回数である\(np\)を\(\lambda\)と置きます。この\(\lambda\)が分布の形を決める、唯一のパラメーターとなります。

証明
※1証明の補足:自然数対数
ポアソン分布の特徴

ポアソン分布の分布の形を決めるパラメータはただ一つ、平均で起こる回数である\(\lambda\)です。\(\lambda\)の値によって分布の形が大きく異なります。

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