確率論の基本をまとめて解説【統計入門】

統計学
今回は確率で使う記号の紹介と、高校の確率論の復習です。確率の概念、加法定理、事象について扱っています。
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確率の定義式確率の加法定理
空事象排反事象
余事象統計用語集
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確率と事象

確率：ある事象が起こる割合
例 日本人は10人のうち7人の割合で、運転免許を持っている →日本人が運転免許を持っている確率は7/10=0.7

確率の表し方

$$P(A)$$ ・事象Aが起こる確率 ・pはprobabilityの頭文字
$$n(A)$$ ・事象Aが起こる場合の数 ・nはnumberの頭文字
$$n(U)$$ ・起こりうるすべての場合の数 ・uはuniverseの頭文字。

確率の定義式

$$P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}$$ 事象Aが起こる確率は、Aが起こる場合の数を、すべての場合の数を割ったもので、定義されます。
例 事象A: 日本人が運転免許を持っている ・運転免許を持っている日本人の数は、8225万5千人 $$n(A)=82,255,000$$ ・日本人の数（免許取得可能な16歳以上）は1億1750万7千人 $$n(U)=117,507,000$$ ・日本人が運転免許を持っている確率は0.7 $$P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=0.7$$

確率の加法定理

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ $$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$$
$$P(A\cup B)$$ ・事象Aまたは事象Bが起こる確率 ・カッコ内はAまたはBと読む
$$P(A\cap B)$$ ・事象Aと事象Bが同時に起こる確率 ・カッコ内はAかつBと読む
証明
\(P(A\cup B)には\)
  1. 事象Aだけが起こる $$P(事象Aだけ)=P(A)-P(A\cap B)$$
  2. 事象Bだけが起こる $$P(事象Bだけ)=P(B)-P(A\cap B)$$
  3. 事象Aと事象Bが同時に起こる $$P(事象Aと事象Bが同時)=P(A\cap B)$$

の3つの場合があります。この3つの確率を足し合わせると、、、

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

また、この式を変形することで2つ目の式を得ることができます。

加法定理のイメージ

空事象・排反事象・余事象

空事象
空事象：起こる確率がゼロの事象 $$P(A)=0$$
例 トランプからカードを引いた時、ハートの14が出る事象 ←トランプの中に、そのようなカードはないので絶対に起こらない。
排反事象
排反事象：同時に起こる確率がゼロの事象 事象Aと事象Bが排反であるとき $$P(A\cap B)=0$$
例 1つのサイコロを振ったとき、その目が偶数であり、かつ奇数である確率←サイコロの目(1〜6)はすべて、偶数か奇数どちらかなので、この2つの事象は絶対に同時に起こらない。

排反事象のイメージ
余事象
余事象：事象Aに対して、Aが起こらないという事象 \(事象Aに対して、Aの余事象は\bar{A}で表す。\) また、事象Aと事象Aの余事象が同時に起こることはないので、Aと余事象Aは排反事象でもある。 $$P(A\cap \bar{A})＝０$$

余事象のイメージ
例 \(A：運転免許を持っている\) \(\bar{A}：運転免許を持っていない\)

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