確率変数の期待値と分散【統計入門】

この記事では、確率変数とは何なのか、例を使いながら分かりやすく説明しています。また、期待値や分散などの計算を、数学的に定義し、それらを使った計算を、証明とともに紹介しています。
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確率変数

確率変数:値が確率的に定まる変数 \(x\)が確率変数→\(x\)の値は確率的に定まる
確率的に定まるとは?

確率変数の期待値

期待値:ある試行を行ったとき、結果として得られる数値の平均値。

\(E(x)\) <- 確率変数\(x\)の期待値 (\(E\)は\(Expectation\)の頭文字)

$$E(x)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_np_n$$

\(x_1,x_2,…,x_n\) : 試行の結果、得られる数値

\(p_1,p_2,…,p_n\): それぞれの数値を取る確率

期待値は\(\mu\)(ミュー)と表されることもあります。

確率変数の分散

分散:データの散らばり具合を表す。下で定義される。 \(V(x)\) <- 確率変数\(x\)の分散 (\(V\)は\(variance\)の頭文字) $$V(x)=E\{(x-E(x))^2\}$$

日本語にすると、(各値と期待値の差)の2乗の期待値です。

分散は\(\sigma^2\)(シグマ2乗)と表されることもあります。 また分散の正の平方根である\(\sigma\)(シグマ)は、標準偏差と呼ばれます。

分散は以下の式でも求めることができます。

$$V(x)=E(x^2)-E(x)^2$$

確率変数の共分散

共分散:2組の対応するデータの関係を表す。以下で定義される。 \(cov(x,y)\) <- 確率変数\(x\)と確率変数\(y\)の共分散 (\(cov\)は\(covariance\)の頭から) $$cov(x,y)=E\{(x-E(x))(y-E(y))\}$$

共分散は以下の式でも求めることができます。

\(cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)\)