母平均の差の検定【統計入門】

この記事では、母平均の差の検定の手順を1から説明しています。
この記事を読む前に!

統計的検定について怪しい方は、この記事を先に読むことをお勧めします。

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統計検定2級対応問題 2018年11月問13, 2018年6月問12[1],2017年11月問13[2], 2016年11月12[2],2016年6月問11[2][3] ご購入はこちら

統計的検定の手順

統計的検定では、まず帰無仮説と対立仮説を定めます。帰無仮説が正しいと仮定し、統計量の分布を調べます。ある確率よりも実際の統計量が得られる確率が小さかったとき、対立仮説を採用。そうでないとき帰無仮説を採用します。

母平均の差とは?

2つの確率変数\(X\),\(Y\)について考えます。

それぞれの平均値\(\mu_X\), \(\mu_Y\)は等しいと言えるのかどうか、統計的に検証するのが、この母平均の差の検定です。

1.帰無仮説と対立仮説を立てる。

2つの確率変数(X),(Y)について、期待値は等しいというのを前提で、考えていきます。今回は、両側検定について考えます。

2.帰無仮説が正しいとき、標本平均の差が従う分布を調べる。

標本平均の差の分布は、母集団の情報や使った標本によって、異なります。

①母分散が既知のとき

証明

②母分散が未知で、サンプルが少ない(\(n, m < 30\))

自由度\((n+m-2)\)の理由

自由度とは、「自由に取れる値の数」

(\frac{X_1+...+X_n}{n}=\overline{X}) (\frac{Y_1+...+Y_m}{m}=\overline{Y})

の2つの縛りがあり、(X_n), (Y_m)の2つの値は、(X_1)〜(X{n-1}),( Y_1)〜(Y{m-1})の値が定まった時点で、決まる。自由度は(全標本の数-2)。

③母分散が未知で、サンプルが多い(\(n, m > 30\))

ポイント 標本平均の差の分布は、それぞれの確率変数の平均\(\overline{X},\overline{Y}\)の分布による。 標本平均の分布の調べ方は、こちらで確認できます!

3.有意水準の決定

有意水準は5%や10%に設定されることが多いです。帰無仮説上で起こる確率が5%/10%より少ないとき、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択します。

4.棄却域の決定

標本平均の差の分布+有意水準の情報が揃ったとき、棄却域を求めることができます。

5.統計量を求め、棄却域内に入るか検証。

実際に標本から標本平均の差を求め、帰無仮説上でどのくらいの確率で、その統計量になるのか調べます。

検定完了! これで、統計的検定が完了です。下の例題を見て、理解を深めましょう。

例題:母平均の差の検定

1.帰無仮説と対立仮説を立てる。

帰無仮説と対立仮説は、問題によって与えられている。福岡県、栃木県のイチゴの重さの母平均をそれぞれ、\(\mu_X, \mu_Y \)とおく。

これは、片側検定(上側)です。

2.帰無仮説が正しいとき、標本から得られる統計量が従う分布を調べる。

(\mu_X=\mu_Y)のとき、統計量

$$\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma_X}^2}{n}+\frac{{\sigma_Y}^2}{m}}}$$

は標準正規分布に従う。

3.有意水準の決定

有意水準は、(5)%.

4.棄却域の決定

分布表より

統計量の棄却域は… $$\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma_X}^2}{n}+\frac{{\sigma_Y}^2}{m}}} < 1.645$$

・\(\overline{X}-\overline{Y}\)について解く

$$\overline{X}-\overline{Y} < 1.645\sqrt{\frac{{\sigma_X}^2}{n}+\frac{{\sigma_Y}^2}{m}}$$

・それぞれ値を代入する。

({\sigma_X}^2={\sigma_Y}^2=100) (n=121, m=169) より

$$\overline{X}-\overline{Y} > 1.96$$

棄却域の決定完了!

5.統計量を求め、棄却域内に入るか検証。

標本平均の差は、

$$\overline{X}-\overline{Y}=40-38=2$$

これは、棄却域内に入る。

よって、帰無仮説を棄却して、対立仮説を採択する。

統計検定2級対応問題 2018年11月問13, 2018年6月問12[1],2017年11月問13[2], 2016年11月12[2],2016年6月問11[2][3] ご購入はこちら